İlişki katsayıları, birimlerden iki değişken bakımından veriler derlendiğinde istatistiksel veriyi özetlemek için kullanılır. İki değişken arasında ilişki varsa değişkenlerden birinin değeri biliniyorsa diğer değişkenin değeri de ortalama olarak bilinir. Örnek olarak açıklamak gerekirse; Elimizde A ve B değişkenleri olsun. Bu değişkenler arasında aynı yönlü ilişki olduğunu varsayarsak A değişkenin değeri büyükse B değişkenin değerinin de büyük olmasını bekleriz. Eğer elimizdeki değişkenler arasında ilişki yoksa tabi ki değişkenler hakkında yorum yapamayız.
İki değişkenin ölçme düzeylerine göre farklı ilişki katsayıları kullanılır. Bunlar;
●υ ilişki katsayısı
●γ ilişki katsayısı
●η ilişki katsayısı
●ρ ilişki katsayısı
υ ilişki katsayısı
İki değişkenin de sınıflama veya değişkenlerden birinin sınıflama birinin sıralama düzeyinde olduğu durumlarda yığından derlenen istatistiksel veriyi özetlemek için kullanılır. Örneğin; cinsiyet ve eğitim durumu veya en çok tercih edilen marka ve cinsiyet.
υ ilişki katsayısının hesaplamak için ilk olarak yığından N sayıda gözlem değerleri alınır. Bu değerlerle çapraz tablolar oluşturulur.
Nij:Sütun değişkeninin j. ve satır değişkeninin i.düzeyindeki birimlerinin sayısı
N.j:Sütun değişkeninin j.düzeyindeki birimlerinin sayısı
Ni.:Satır değişkeninin i.düzeyindeki birimlerinin sayısı
Nij değerleri gözlemler sonucundan elde edilir. Yani çapraz tabloda görülen değerdir. Bu yüzden bunlara Gözlenen Frekans denir.
Nij =Gij
Beklenen frekans değerleri ise olmasını beklediğimiz değerlerdir. Model değişken olarak da bilinir. Formül ile bulunur.
υ parametresinin formülünü verelim.
k=min{(r-1),(c-1)}
υ parametresi 0 ve 1 arasında değer alır.Parametre değeri sıfıra yakınsa değişkenler arasında zayıf ilişki,parametre değeri bire yakınsa değişkenler arasında kuvvetli ilişki vardır. υ=0 ise değişkenler arasında ilişki yoktur. υ=1 ise değişkenler arasında tam ilişki vardır.
υ parametresi ile yokluk ve alternatif hipotez testleri aşağıdaki gibi yazılır.
H0: υ=0
H1: υ>0
veya sözel olarak ifade edersek;
H0:Değişkenler arasında fark yoktur.
H1: Değişkenler arasında fark vardır.
Hipotez testlerini yorumlamamızda X2 test istatistiğinden yararlanırız.
X2 tablo değeri X2 hesaplanan değerinden büyükse H0 reddedilir.
X2 tablo değeri X2 hesaplanan değerinden küçük ya da eşitse H0 reddedilmez.
Buraya kadar υ ilişki katsayısının matematiksel kısmını gördük.Anlattıklarımızı SPSS üzerinden bir örnekle yorumlayalım.
Öncelikle verilerimizi SPSS'e girelim.
Verileri girdikten sonra analiz yapmadan önce frekanslara göre ağırlıklandırma yaparız.
Data>Weight Cases penceresini açarız.Frequency Variable kutucuğuna frekansı aktarırız.
Daha sonra Analyze>Descriptive>Statistics>Crosstabs 'den Crosstabs penceresini görüntüleriz.
Açılan pencerede Row(s) kutusuna harcama değişkenini,Column(s) kutusuna uyruk değişkenini atarız.
Ki-kare test istatistiği ve Cramer's υ değerini elde etmek için Crosstabs sayfasından Statistics butonuna tıklarız.Açılan sayfada Chi-square ve Phi and Cramer's υ kutucuklarına tıklarız.
Çıktılarda gözlenen ve beklenen frekansları birlikte görebilmek için Crosstabs sayfasından Cell Display butonuna tıklarız.Açılan sayfada Observed ve Expected kutucuklarını işaretleriz.
Continue butonuna tıklarız ve tekrardan Crosstabs sayfasına geliriz.Tam olasılık değeri için Exact düğmesine tıklarız.Exact Tests penceresinden Exact butonunu tıklarız.
Ve son olarak Continue ve Ok butonlarına tıklarız ve analiz sonuçlarını alırız.
Elde ettiğimiz ilk tabloda verilere ilişkin çapraz tabloyu görürüz. Count gözlenen değerlerini,Expected Count değeri beklenen değerlerini gösterir.Örnek verirsek ilk kutucuğu yorumlayalım.
(Harcama 1,uyruk1) =Türk uyruklu bireyin harcama düzeyi 100'den az veriler için gözlenen frekans değeri 30,beklenen frekans değerleri 47,4'tür.
İkinci tabloda ise Ki-kare değerini görmüş oluruz. Ki-kare değeri 30,865 olarak hesaplanmıştır. Tabloda p değerinin iki katını 0,000'dir.
H0:Değişkenler arasında fark yoktur.
H1: Değişkenler arasında fark vardır.
p değeri=0,000 α değerini 0,05 olarak alırsak; p değeri< α göre H0 hipotezi kabul edilmez reddedilir. Yani değişkenler arasında fark vardır.
Üçüncü tabloda υ ilişki katsayısı değeri 0,202'dir. υ ilişki katsayısı sıfıra yakınsa değişkenler arasında zayıf ilişki vardır. Bulduğumuz değer sıfıra yakın olduğu için değişkenler arasında zayıf ilişki vardır.
γ ilişki katsayısı
İki değişkenin de sıralama ölçme düzeyinde olduğu durumlarda yığından derlenen istatistiksel veriyi özetlemek için kullanılır. Örneğin; harcama durumu ve eğitim durumu.
γ parametresinin formülünü verelim.
U=Her bir gözedeki frekansın kendisinin sağında ve altında kalan gözelerdeki frekansların toplamı ile çarpımlarının toplamı.
T=Her bir gözedeki frekansın kendisinin solunda ve altında kalan gözelerdeki frekansların toplamı ile çarpımlarının toplamı.
γ parametresi -1 ile +1 arasında değer alır.
γ değeri -1'e eşit ve -1'den büyük 0'dan küçükse değişkenler arasında ters yönlü ilişki vardır.
γ değeri 0'a eşitse değişkenler arasında ilişki yoktur.
γ değeri 1'e eşit ve 1'den küçük 0'dan büyükse değişkenler arasında aynı yönlü ilişki vardır.
γ parametresi ile yokluk ve alternatif hipotez testleri aşağıdaki gibi yazılır.
H0: γ =0
H1: γ >0
veya sözel olarak ifade edersek;
H0:Değişkenler arasında fark yoktur.
H1: Değişkenler arasında fark vardır.
Hipotez testlerini yorumlamamızda Z test istatistiğinden yararlanırız.
Z tablo değeri Z hesaplanan değerinden büyükse H0 reddedilir.
Z tablo değeri Z hesaplanan değerinden küçük ya da eşitse H0 reddedilmez.
Buraya kadar γ ilişki katsayısının matematiksel kısmını gördük. Anlattıklarımızı SPSS üzerinden bir örnekle yorumlayalım.
Öncelikle verilerimizi SPSS'e girelim.
Verileri girdikten sonra analiz yapmadan önce frekanslara göre ağırlıklandırma yaparız.
Data>Weight Cases penceresini açarız. Frequency Variable kutucuğuna frekansı aktarırız.
Daha sonra Analyze>Descriptive>Statistics>Crosstabs 'den Crosstabs penceresini görüntüleriz.
Açılan pencerede Row(s) kutusuna eğitim değişkenini, Column(s) kutusuna harcama değişkenini atarız.
Daha sonra Crosstabs sayfasından Statistics butonuna tıklarız. Açılan pencerede Ordinal çerçevesinde Gamma kutucuğu işaretlenir. Continue ve Ok butonlarına tıklarız ve analiz sonuçlarını alırız.
Elde ettiğimiz ilk tabloda verilere ilişkin çapraz tabloyu görürüz. Count gözlenen değerlerini, Expected Count değeri beklenen değerlerini gösterir. Örnek verirsek ilk kutucuğu yorumlayalım.
(Eğitim durumu1,harcama1) =İlköğretimde harcama düzeyi çok olan veriler için gözlenen frekans değeri 15,beklenen frekans değerleri 11,4'tür.
İkinci tabloda ise Ki-kare değerini görmüş oluruz.Ki-kare değeri 28,221 olarak hesaplanmıştır.
Not:2x2'lik tablolarda herhangi bir hücrelerin beklenen değerleri 5'ten küçük ise için Fisher's Exact Test değerine bakarız bu değer 30,657'dir.
Tabloda p değerinin iki katını 0,000'dir.
H0:Değişkenler arasında fark yoktur.
H1: Değişkenler arasında fark vardır.
p değeri=0,000 α değerini 0,05 olarak alırsak; p değeri< α göre H0 hipotezi kabul edilmez reddedilir. Yani değişkenler arasında fark vardır.
Üçüncü tabloda υ ilişki katsayısı yani Gamma değeri 0,193'tür. γ değeri 1'e eşit ve 1'den küçük 0'dan büyükse değişkenler arasında aynı yönlü ilişki vardır. Yani; harcama ve eğitim düzeyleri arasında aynı yönlü ilişki vardır.
η ilişki katsayısı
Değişkenlerden birinin niteliksel diğerinin niceliksel yani değişkenlerden biri sınıflama veya sıralama diğeri ise eşit aralıklı veya oranlama düzeyinde olduğu durumlarda yığından derlenen istatistiksel veriyi özetlemek için kullanılır. Örneğin; ilaç kürü ve iyileşme süresi.
η parametresinin formülünü verelim.
Xij=Niteliksel değişkenin j.düzeyindeki i.birimin niceliksel değişken değeri
Nj: j. düzeydeki birimlerinin sayısı
J:Niteliksel değişkenin düzey sayısı
η parametresi 0 ve 1 arasında değer alır.Parametre değeri sıfıra yakınsa değişkenler arasında zayıf ilişki,parametre değeri bire yakınsa değişkenler arasında kuvvetli ilişki vardır. η =0 ise değişkenler arasında ilişki yoktur. η =1 ise değişkenler arasında tam ilişki vardır.
η parametresi ile yokluk ve alternatif hipotez testleri aşağıdaki gibi yazılır.
H0: η =0
H1: η > 0
veya sözel olarak ifade edersek;
H0:Değişkenler arasında fark yoktur.
H1: Değişkenler arasında fark vardır.
Hipotez testlerini yorumlamamızda F test istatistiğinden yararlanırız.
F tablo değeri F hesaplanan değerinden büyükse H0 reddedilir.
F tablo değeri F hesaplanan değerinden küçük ya da eşitse H0 reddedilmez.
Buraya kadar η ilişki katsayısının matematiksel kısmını gördük.Anlattıklarımızı SPSS üzerinden bir örnekle yorumlayalım.
Daha sonra Analyze>Descriptive>Statistics>Crosstabs 'den Crosstabs penceresini görüntüleriz.
Açılan pencerede Row(s) kutusuna eğitim düzeyi değişkenini, Column(s) kutusuna grup değişkenini atarız.
Daha sonra Crosstabs sayfasından Statistics butonuna tıklarız. Açılan pencerede Nominal by İnterval çerçevesinde Eta kutucuğu işaretlenir. Continue ve Ok butonlarına tıklarız ve analiz sonuçlarını alırız.
Elde ettiğimiz ilk tabloda verilere ilişkin çapraz tabloyu görürüz.
İkinci tabloda η ilişki katsayısı yani Eta değeri 0,853'tür. η değeri 1'e yakınsa değişkenler arasında kuvvetli ilişki vardır. Yani; gelir düzeyleri arasında kuvvetli ilişki vardır diye yorum yapabiliriz.
ρ ilişki katsayısı
İki değişkenin de nicelikse değişken düzeyinde olduğu durumlarda yığından derlenen istatistiksel veriyi özetlemek için kullanılır. Örneğin;başarı notu ve eğitimde geçen süre.
ρ parametresinin formülünü verelim.
Kovaryans formülü;
Kovaryans değeri 0'dan büyükse değişkenler aynı yönde değişir.
Kovaryans değeri 0'a eşitse değişkenler arasında ilişki yoktur.
Kovaryans değeri 0'dan küçüke değişkenler ters yönde değişir.
Aslında değişkenler arasındaki ilişkinin belirlenmesinde kovaryans sık kullanılmaz. Bunun sebebi kovaryans değişkeni ölçü birimine bağlıdır. Bu yüzden kovaryans yerine korelasyon katsayısı kullanılır. Çünkü korelasyon katsayısı ölçü birimine bağlı değildir.
Korelasyon formülü;
ρ parametresi -1 ile +1 arasında değer alır.
ρ değeri -1'e eşit ve -1'den büyük 0'dan küçükse değişkenler arasında ters yönlü ilişki vardır.
ρ değeri 0'a eşitse değişkenler arasında ilişki yoktur.
ρ değeri 1'e eşit ve 1'den küçük 0'dan büyükse değişkenler arasında aynı yönlü ilişki vardır.
ρ parametresi ile yokluk ve alternatif hipotez testleri aşağıdaki gibi yazılır.
H0: ρ =0
H1: ρ >0
veya sözel olarak ifade edersek;
H0:Değişkenler arasında fark yoktur.
H1: Değişkenler arasında fark vardır.
Hipotez testlerini yorumlamamızda t test istatistiğinden yararlanırız.
t tablo değeri t hesaplanan değerinden büyükse H0 reddedilir.
t tablo değeri t hesaplanan değerinden küçük ya da eşitse H0 reddedilmez.
Buraya kadar η ilişki katsayısının matematiksel kısmını gördük.Anlattıklarımızı SPSS üzerinden bir örnekle yorumlayalım.
Öğrencilerin derse devamsızlıkları (X) ile haftalık harcamaları (Y)arasındaki ilişki;
Öğrenci no: 1 2 3 4 5 6
X: 0 1 3 2 1 2
Y: 100 50 40 55 10 20
Öncelikle verilerimizi SPSS'e girelim.
Daha sonra Analyze>Correlate>Bivarite'den Bivarite Correlations penceresini görüntüleriz. Variables kutucuğuna değişkenleri atarız.Testimizi tek yanlı olarak hesaplayacağımızdan Test of Significance çerçevesinden One tailed kutucuğuna tıklarız.
Daha sonra Ok butonuna tıklarız ve analiz sonuçlarını alırız.
Karşımıza bir tane tablo çıkar;
X ve Y değişkenlerinin kesiştiği en üst gözede Pearson Correlation değerini görürüz.Bu değer korelasyon değeridir ve -0,496'dır. ρ değeri -1'e eşit ve -1'den büyük 0'dan küçükse değişkenler arasında ters yönlü ilişki vardır.Yani;öğrencilerin derse devam durumları ile haftalık harcamaları arasında ters yönlü ilişki vardır şeklinde yorum yapabiliriz.
Başka bir örnek ile gösterelim;
Öğrencilerin günlük ders çalışma süresi (A), sınavdan aldığı puan (B);
Öğrenci no: 1 2 3 4 5 6 7
A saat: 5 1 3 6 1 2 8
B puan: 60 20 40 85 15 22 95
Korelasyon katsayısı 0,986'dır. ρ değeri 1'e eşit ve 1'den küçük 0'dan büyükse değişkenler arasında aynı yönlü ilişki vardır.Yani;öğrencilerin günlük ders çalışma süreleri ve sınavdan aldıkları puanlar arasında aynı yönlü ilişki vardır.