İşaret Testi

İşaret Testi

Merhaba, SPSS ile İşaret Testine geçmeden önce İşaret Testi nedir onu inceleyelim.

Gözlenen n birimlik bir dizinin, ortancası=K olan sürekli bir toplumun rasgele örneği olup olmadığını test etmek için işaret testinden yararlanılır. İşaret test, n birimli bir veri dizisinde, ortanca değerin altında ve üstünde olan değerleri gözlenme sıklığını Binom olasılığına göre test eder.

Dizideki n değerin(eleman) her biri ortancadan küçük ise “0”, ortancaya eşit ya da daha büyük ise “1” değeri ile kodlanır. 0 ve 1 değerli elemanlar ayrı ayrı sayılır. “Dizide ortancadan küçük olan değerlerin sayısı ile ortancaya eşit ve daha büyük olanların sayısı birbirine eşittir.” Varsayımı, “Dizideki ortancadan küçük olan değerlerin sayısı ile ortancaya eşit yada daha büyük olan değerlerin sayısı farklıdır.” Varsayımları Binom olasılığı kullanılarak test edilir.

İşaret testinin hipotezleri;

H0=OD=K “Dizinin ortancası K gibi bir değere eşittir.”

H1=OD≠K “Dizinin ortancası K gibi bir değerden farklıdır.”

Ayrıca işaret testi ile eşleştirilmiş örneklerde eşler arası farkların ortancasının sıfır olduğu

varsayımı altında hipotezleri;

H0=OD=0 “Dizinin ortancası 0 gibi bir değere eşittir.”

H1=OD≠0 “Dizinin ortancası 0 gibi bir değerden farklıdır.”

İşaret testi ile birden fazla veri dizisi verildiğinde her bir dizinin verilen ortanca değere göre analizi çoklu olarak ayını anda yapılabilir.

Tek Örnek İşaret Testi

Tek örnek işaret testi için varsayımlar aşağıdadır.

Varsayımlar:

• n hacimli örnek medyanı bilinmeyen bir yığından rassal olarak seçilmiştir.

• İlgilenilen değişken en az sıralama düzeyinde ölçülmüştür.

• İlgilenilen değişken süreklidir.

İşaret testinde, M yığına ilişkin bilinmeyen medyan ve Mo herhangi bir reel sayı olmak üzere, hipotezler aşağıdaki gibi yazılabilir.

Bir problemde bu hipotez çiftlerinden sadece birinin kullanılacağı bilinir.

H0 H1 TEST

M=M0 M>M0 Tek-yanlı test

M=M0 M<M0 Tek-yanlı test

M=M0 M≠M0 İki-yanlı test

Şimdi işaret test istatistiğinin bulunmasını açıklayalım.

İlgili yığından rassal olarak seçilen n hacimli örnek

Xi : X1 X2 X3 ... Xn olsun.

Di ve δi değişkenleri aşağıdaki gibi tanımlansın.

Di = Xi - M0 , i=1, 2, 3……, n ve

δi = 1 , Di > 0

0 , Di < 0

k ile gösterilen işaret testi test istatistiği;

olarak tanımlanır. Yukarıdaki tanımlara göre k istatistiğinin “pozitif işaretli Di farklarının sayısı” ya da “M0 dan büyük değerli Xi gözlemlerinin sayısı” olarak da tanımlanabileceği açıktır. X istatistiğinin dağılımının bulunması kolaydır. H0 hipotezi doğru iken, yani n hacimli örnek medyanı M0 olan yığından seçildiyse,

olduğu açıktır. Süreklilik varsayımı nedeniyle, teorik olarak, 0 değerli Di olmaması beklenir. Örnek birimleri bağımsız olarak seçildikleri için,

olduğu bilinir. Bu nedenle k istatistiğinin olasılık fonksiyonu

K istatistiğinin hesaplanan değeri H1 hipotezinin farklı durumları için karar kuralı aşağıdaki gibidir.

H1 Karar Kuralı

M<M0 kh≤ka ise H0 reddedilir. Pr(k≤ka)=α

M>M0 kh ≥ka’ ise H0 reddedilir. Pr(k≥ ka’ )=α

M≠M0 kh≤ka/2 ise H0 reddedilir. Pr(k≤ka/2 )=α/2 veya

kh≥k’a/2 ise H0 reddedilir.Pr(k≥k’a/2)=α/2

ka ,ka’, ka/2 ve k’a/2 değerleri hipotez testlerinden bilinen kritik değerlerdir. Bu değerler T1 tablosundan veya k istatistiğinin olasılık fonksiyonu aracılığıyla kolayca bulunabilir.

İki Bağımlı Örnek İçin İşaret Testi

İki bağımlı örnek için işaret testi için, tek örnek işaret testinin kullanımına dayanır. Ancak daha önce verilere bir dönüştürme yapılması gerekmektedir.

Varsayımlar:

• Veri(X1,Y1),(X2,Y2)…..(Xn,Yn) gibi n sayıda eşten elde edilen ölçümlerden oluşur.

Eşlerdeki ölçümler ya aynı birimden alınmıştır yada etkisi arındırılan değişken bakımından

aynı değerli olan iki birimden alınmıştır.

• İlgilenilen değişkenin ölçme düzeyi en az sıralamadır.

• İlgilenilen değişken sürelidir.

İki bağımlı örnek için işaret testi ve Y değişkenlerinden yeni bir değişken tanımlamayı gerektirir.

Bu yeni değişken D olsun. i.eş için D değişkeni aşağıdaki gibi tanımlanır.

Dİ = Xİ – Yİ, i=1,2,3,…,n

Tek örnek işaret testinde olduğu gibi

Olmak üzere, işaret test istatistiği

Olarak tanımlanır. Yokluk hipotezi doğru iken bu istatistiğin Binom dağılımına sahip olduğu hatırlanacaktır. Diğer bir ifade ile

Olduğu tek örnek işaret testinde açıklanmıştı. İki bağımlı örnek için işaret testinde yokluk hipotezi

H0 = Dİ farklar yığınının medyanı sıfırdır.

k istatistiği için hesaplanan değer kh olmak üzere, H1 hipotezinin farklılık durumları için karar kuralı aşağıdaki gibi ifade edilebilir.

H1 Karar Kuralı

Di farklar yığınının medyanı sıfırdan küçüktür. kh ≤ ka ise H0 reddedilir.

Di farklar yığınının medyanı sıfırdan büyüktür. kh ≤ ka’ ise H0 reddedilir.

Di farklar yığınının medyanı sıfırdan farklıdır. kh ≤ ka/2 ise H0 reddedilir veya kh ≥ k’a/2 ise

H0 reddedilir.