Merhaba, SPSS ile İşaret Testine geçmeden önce İşaret Testi nedir onu inceleyelim.
Gözlenen n birimlik bir dizinin, ortancası=K olan sürekli bir toplumun rasgele örneği olup
olmadığını test etmek için işaret testinden yararlanılır. İşaret test, n birimli bir veri dizisinde, ortanca değerin altında ve üstünde olan değerleri gözlenme sıklığını Binom olasılığına göre test eder.
Dizideki n değerin(eleman) her biri ortancadan küçük ise “0”, ortancaya eşit ya da daha büyük ise “1” değeri ile kodlanır. 0 ve 1 değerli elemanlar ayrı ayrı sayılır. “Dizide ortancadan küçük olan değerlerin sayısı ile ortancaya eşit ve daha büyük olanların sayısı birbirine eşittir.” Varsayımı,
“Dizideki ortancadan küçük olan değerlerin sayısı ile ortancaya eşit yada daha büyük olan değerlerin sayısı farklıdır.” Varsayımları Binom olasılığı kullanılarak test edilir.
İşaret testinin hipotezleri;
H0=OD=K “Dizinin ortancası K gibi bir değere eşittir.”
H1=OD≠K “Dizinin ortancası K gibi bir değerden farklıdır.”
Ayrıca işaret testi ile eşleştirilmiş örneklerde eşler arası farkların ortancasının sıfır olduğu
varsayımı altında hipotezleri;
H0=OD=0 “Dizinin ortancası 0 gibi bir değere eşittir.”
H1=OD≠0 “Dizinin ortancası 0 gibi bir değerden farklıdır.”
İşaret testi ile birden fazla veri dizisi verildiğinde her bir dizinin verilen ortanca değere göre analizi çoklu olarak ayını anda yapılabilir.
Tek Örnek İşaret Testi
Tek örnek işaret testi için varsayımlar aşağıdadır.
Varsayımlar:
• n hacimli örnek medyanı bilinmeyen bir yığından rassal olarak seçilmiştir.
• İlgilenilen değişken en az sıralama düzeyinde ölçülmüştür.
• İlgilenilen değişken süreklidir.
İşaret testinde, M yığına ilişkin bilinmeyen medyan ve Mo herhangi bir reel sayı olmak üzere, hipotezler aşağıdaki gibi yazılabilir.
Bir problemde bu hipotez çiftlerinden sadece birinin kullanılacağı bilinir.
H0 H1 TEST
M=M0 M>M0 Tek-yanlı test
M=M0 M<M0 Tek-yanlı test
M=M0 M≠M0 İki-yanlı test
Şimdi işaret test istatistiğinin bulunmasını açıklayalım.
İlgili yığından rassal olarak seçilen n hacimli örnek
Xi : X1 X2 X3 ... Xn olsun.
Di ve δi değişkenleri aşağıdaki gibi tanımlansın.
Di = Xi - M0 , i=1, 2, 3……, n ve
δi = 1 , Di > 0
0 , Di < 0
k ile gösterilen işaret testi test istatistiği;
olarak tanımlanır. Yukarıdaki tanımlara göre k istatistiğinin “pozitif işaretli Di farklarının sayısı” ya da “M0 dan büyük değerli Xi gözlemlerinin sayısı” olarak da tanımlanabileceği açıktır. X istatistiğinin dağılımının bulunması kolaydır. H0 hipotezi doğru iken,
yani n hacimli örnek medyanı M0 olan yığından seçildiyse,
olduğu açıktır. Süreklilik varsayımı nedeniyle, teorik olarak, 0 değerli Di olmaması beklenir. Örnek birimleri bağımsız olarak seçildikleri için,
olduğu bilinir. Bu nedenle k istatistiğinin olasılık fonksiyonu
K istatistiğinin hesaplanan değeri H1 hipotezinin farklı durumları için karar kuralı aşağıdaki gibidir.
H1 Karar Kuralı
M<M0 kh≤ka ise H0 reddedilir. Pr(k≤ka)=α
M>M0 kh ≥ka’ ise H0 reddedilir. Pr(k≥ ka’ )=α
M≠M0 kh≤ka/2 ise H0 reddedilir. Pr(k≤ka/2 )=α/2 veya
kh≥k’a/2 ise H0 reddedilir.Pr(k≥k’a/2)=α/2
ka ,ka’, ka/2 ve k’a/2 değerleri hipotez testlerinden bilinen kritik değerlerdir. Bu değerler T1 tablosundan veya k istatistiğinin olasılık fonksiyonu aracılığıyla kolayca bulunabilir.
İki Bağımlı Örnek İçin İşaret Testi
İki bağımlı örnek için işaret testi için, tek örnek işaret testinin kullanımına dayanır. Ancak daha önce verilere bir dönüştürme yapılması gerekmektedir.
Varsayımlar:
• Veri(X1,Y1),(X2,Y2)…..(Xn,Yn) gibi n sayıda eşten elde edilen ölçümlerden oluşur.
Eşlerdeki ölçümler ya aynı birimden alınmıştır yada etkisi arındırılan değişken bakımından aynı değerli olan iki birimden alınmıştır.
• İlgilenilen değişkenin ölçme düzeyi en az sıralamadır.
• İlgilenilen değişken sürelidir.
İki bağımlı örnek için işaret testi ve Y değişkenlerinden yeni bir değişken tanımlamayı gerektirir.
Bu yeni değişken D olsun. i.eş için D değişkeni aşağıdaki gibi tanımlanır.
Dİ = Xİ – Yİ, i=1,2,3,…,n
Tek örnek işaret testinde olduğu gibi
Olmak üzere, işaret test istatistiği
Olarak tanımlanır. Yokluk hipotezi doğru iken bu istatistiğin Binom dağılımına sahip olduğu hatırlanacaktır. Diğer bir ifade ile
Olduğu tek örnek işaret testinde açıklanmıştı. İki bağımlı örnek için işaret testinde yokluk hipotezi
H0 = Dİ farklar yığınının medyanı sıfırdır.
k istatistiği için hesaplanan değer kh olmak üzere, H1 hipotezinin farklılık durumları için karar kuralı aşağıdaki gibi ifade edilebilir.
H1 Karar Kuralı
Di farklar yığınının medyanı sıfırdan küçüktür. kh ≤ ka ise H0 reddedilir.
Di farklar yığınının medyanı sıfırdan büyüktür. kh ≤ ka’ ise H0 reddedilir.
Di farklar yığınının medyanı sıfırdan farklıdır. kh ≤ ka/2 ise H0 reddedilir veya
kh ≥ k’a/2 ise H0 reddedilir.
ka, ka’ , ka/2, k’a/2 kritik değerler olup tek örnek işaret testinde belirtildiği gibi
Pr(k ≤ ka)=α
Pr(k ≥ ka’)=α
Pr(k ≤ ka/2 )=α/2
Pr(k ≥ ka/2’)=α/2 ile bulunur.
SPSS de tek örnek işaret testi uygulaması olmadığı için iki bağımlı örnek için işaret testi
uygulaması yapacağız. iki bağımlı örnek için işaret testi için aşağıda yer alan örnek üzerinden uygulamayı yapalım. Rassal olarak seçilmiş 10 kadının diyet öncesi ağırlıkları ve 4 ay boyunca uygulan diyet sonrası ağırlıkları ölçülmüştür.
α=0,05 alınırsa diyetin etkili olduğu söylenebilir mi? Bunu test edelim. Hipotezlerimizi aşağıdaki gibi kuralım.
H0=Di farklar yığının medyanı sıfırdır.
H1=Di farklar yığının medyanı sıfırdan büyüktür.
İlgili ölçümlere ait veriler Şekil 1 deki gibi ve SPSS de veri girişi yapılır. Menüden Şekil 2 de Analyze alanına tıklanır.
Şekil 1
Şekil 2
Açılan pencereden Nonparametric Tests > Legacy Dialogs > 2 Related Samples alanı tıklanır.
Şekil 3
Açılan tabloda değerlerin ataması Variable1 ve Variable2 alanına yapılarak, Test Type alanında Sign alanı işaretlenir.
Şekil 5 de Exact alanına tıklanır Exact seçilerek, Time limit pertest seçilerek Continue tıklanır.
Şekil 4
Şekil 5
Options alanı tıklanarak Descriptive alanı işaretlenerek Continue alanına tıklanır. (Descriptive alanı tanımlayıcı istatistik bilgileri verir.) Daha sonra OK alanına tıklanır.
Şekil 6
Üç tablodan oluşan analiz sonuçları karşımıza çıkmaktadır.
Tablo 1 de Diyet_öncesi_kg ve Diyet_sonrası_kg değerlerine ait örneklem sayısı, ortalama, standart sapma, min ve max değerleri olan tanımlayıcı istatistik değerleri açıklanmaktadır.
Tablo 1
Tablo 2 de yer alan Sing test tablosunda farkların işaretine ilişkin frekans dağılımı verilmiştir. Burada Negative Differences satırı Diyet_öncesi_kg değerinin Diyet_sonrası_kg değerinden küçük olduğu durumların yani Diyet_öncesi_kg- Diyet_sonrası_kg farkının negatif olduğu durumların sayısını göstermektedir. Benzer şekilde Positive Differences satırı Diyet_öncesi_kg değerinin Diyet_sonrası_kg değerinden büyük olduğu durumların yani Diyet_öncesi_kg- Diyet_sonrası_kg farkının pozitif olduğu durumların sayısını göstermektedir. Ties satırı ise Diyet_öncesi_kg ve Diyet_sonrası_kg değerlerinin birbirine eşit olduğu durumların sayısıdır. Diyet_öncesi_kg değerinin Diyet_sonrası_kg değerinden küçük olduğu durumların sayısı 1, büyük olduğu durumların sayısı 8’dir. 1 durumda ise Diyet_öncesi_kg ve Diyet_sonrası_kg değerleri birbirine eşittir. Test istatistiğinin değeri pozitif farkların sayısı olan 8’dir.
Tablo 2
Tablo 3 de yer alan Test Statictics tablosunda P değeri Exact Sig. (1-tailed) 0.020 olarak
hesaplanmıştır. Birinci tip hata 0.05 olarak alındığında P<0.05 olacaktır ve bu durumda yokluk hipotezi reddedilir. Yani farkların yığınının medyanın sıfırdan büyük olduğu %95 güvenle söylenebilir. Burada yer alan Point Probility değeri k=8 için olasılık değerini vermektedir. Diyetin etkili olduğu söylenebilir.
Tablo 3